בייסיאניזם: ניספח על אלגברה הגיונית

[רשומה זו היא חלק מסדרה על תורת הידיעה הבייסיאנית; ראה אינדקס כאן.]

פתחנו את הסידרה על הבייסיאניזם בכך שאנו רוצים לשקול את ערך האמת של טענות מורכבות לוגית, כגון "גם A וגם B". כדי לעשות זאת בצורה טובה, אנחנו נמיר בעיות בהיגיון לבעיות בחשבון. גישה זו ללוגיקה ידועה כאלגברה בוליאנית.

הרעיון של האלגברה הבוליאנית הוא לכתוב את היחסים הלוגיים כיחסים חשבוניים. ניקח למשל את פעולת ה"או" הלוגי, ("A או B"). פעולה זו לוקחת בחשבון שני משתנים לוגיים, ומחזירה ערך של "שקר" אם שניהם "שקר", וערך של "אמת" בכל מקרה אחר (לא להתבלבל - הכוונה היא ש"A או B" נכון גם אם שניהם נכונים; הבדיקה אם רק אחד מהם נכון היא פעולה לוגית אחרת). לשם הגדרת האלגברה הבוליאנית, פשוט נרשום את הסכום  "A+B" במקום "A או B".

באופן דומה, נוכל לרשום את היחס "A וגם B" כמכפלה "AB" (ממש כמו ש"2x" זה 2 כפול x). היחס הלוגי "גם" מחזיר ערך אמת של "אמת" אם שני המשתנים שלו אמתיים, וערך של "שקר" בכל מקרה אחר.

נוכל לחשוב על השוויון "=" כמסמן את הזהות הלוגית, כלומר כזהות של ערכי האמת. "A=B" משמעו ששתי הטענות שקולות לוגית, הן מספקות את אותם ערכי האמת.

על ידי בדיקה ישירה, ניתן לראות שהמשפטים הבאים נכונים:

אסוציאטיביות    (AB)C=A(BC)    (A+B)+C=A+(B+C)

קומוטטיביות    AB=BA        A+B=B+A

דיסטרוטיביות    A(B+C)=AB+AC    A+(BC)=(A+B)(A+C)

קיום יחידה    AT=A    A+F=A

קיום האפס    AF=F    A+T=T

השלמה        AA=F    A+A=T

אידמפוטנציה    AA=A    A+A=A

ספיגה        A(A+B)=A    A+(AB)=A

כאשר T ו-F הם ערכי האמת "אמת" ו-"שקר", וקו תחתון מסמן את השלילה (A זה "לא A").

אלו לא בדיוק הכללים של החשבון הרגיל, אבל זה מאוד דומה. הם מגדירים חשבון אחר - חשבון לוגי. על ידי שימוש בכללים אלו ניתן להוכיח כל יחס לוגי ולבצע כל הוכחה לוגית. ניקח למשל את ההוכחה הפשוטה:

או ש-A או ש- B, או שניהם. לא A. לפיכך, B.

אלגברית, נוכל לרשום את שתי ההנחות כ

A+B=T

A=F

על ידי הצבה של נוסחה אחת בשנייה נוכל להסיק את המסקנה:

F+B=T (הצבה של הנחה 2 בהנחה 1)

B+F=T (קומוטטיביות של חיבור)

B=T (יחידה של חיבור)

וכך הוכחנו ש-B נכונה.

בצורה כזו הפכנו בעיות בלוגיקה לבעיות בחשבון. זה יהיה שימושי מאוד בהמשך.