בייסיאניזם: סבירות עקבית

[רשומה זו היא חלק מסדרה על תורת הידיעה הבייסיאנית; ראה אינדקס כאן.]

ברשומה הקודמת הנחנו את הנחת היסוד של הבייסיאניזם, הלוהי שסבירות של טענה היא מספר ממשי. עכשיו נניח את הטענה השנייה: עקביות. אנו נניח כי סבירויות רציונליות של טענות שקולות-לוגית חייבות להיות שוות.

הנחה 2: עקביות: אם A ו-B הן טענות זהות (לוגית), אז סבירויותיהן חייבת להיות שוות גם הן (A|X)=(B|X). עליהן גם להשפיע בצורה זהה כאינפורמציה, (C|A,X)=(C|B,X).

זוהי הנחה טריוויאלית - התייחסות שונה לדברים זהים היא שיא האי-הרציונליות. לא נראה לי שמישהו יכול להתנגד להנחה זו.

כל הטאוטולוגיות הן תמיד נכונות ולכן זהות לוגית זו לזו ולאמת (T). מאחר ששום דבר לא יכול להיות יותר בטוח מאשר האמת של האמת, הן חייבות לקבל את ערך הסבירות המקסימלי (בלי תלות באינפורמציה כלשהיא). הדבר דומה באשר לסתירות, שתמיד שגויות.

משפט 2.1: אם A היא טאוטולוגיה, אז A|X)=(T|X)=vT), כאשר vT הוא ערך הסבירות הגבוה ביותר, המייצג וודאות מוחלטת. אם A היא סתירה אז A|X)=(F|X)=vF), כאשר vF הוא ערך הסבירות הנמוך ביותר, המייצג דחייה מוחלטת של הטענה.

לאור כך אנו יכולים לכתוב מחדש את ההגדרה שסיפקנו למידע נוסף בצורה פשוטה יותר:

משפט 2.2: הסבירות (A|A,X) של טענה A תחת מידע X ומידע נוסף שA נכונה, היא זו של אמתA|A,X)=vT). הסבירות (A|A,X) של טענה A תחת מידע X ומידע נוסף שA אינה נכונה, היא זו של שקר A|A,X)=vF).

אלו תוצאות די ברורות מראש. החשיבות של הנחת העקיבות תופיע בהמשך, בדיון בטענות מורכבות.